Sistem Bilangan

Sistem Bilangan

Pendahuluan :

►   Sistem bilangan didefinisikan sebagai sekumpulan nilai yang digunakan untuk melambangkan besaran.

►   Jumlah mahasiswa yang hadir dalam kuliah,jumlah matakuliah yang diambil oleh mahasiswa, nilai yang didapat mahasiswa untuk suatu ujian matakuliah, semuanya menggunakan lambang bilangan.

►   Sejak lama manusia menggunakan tanda atau simbol untuk menggambarkan bilangan.

►   Bentuk awal penggunaan simbol adalah dengan garis lurus. Jumlah garis menunjukkan besarnya bilangan.

►   Ada yang menggambarkan kelompok 6 garis vertikal dengan 1 garis horisontal melintang pada kelompok garis vertikal tersebut untuk menunjukkan jumlah hari dalam 1 minggu.

►   Sangat sulit untuk menggambarkan bilangan sangat besar ataupun sangat kecil menggunakan pendekatan grafis.

►   Pada sekitar tahun 3400 SM di Mesir dan 3000 SM di Mesopotamia mereka membuat simbol untuk menggambarkan bilangan dalam kesatuan 10.

►   Ini adalah langkah besar karena dapat mereduksi jumlah simbol yang diperlukan. Misalnya dua belas dapat digambarkan dengan satu puluhan dan dua satuan, sehingga hanya memerlukan 3 simbol. Bandingkan dengan 12 simbol sebelumnya.

►   Orang Romawi menggunakan 7 buah simbol yang dapat digunakan untuk menggambarkan bilangan 1 sampai dengan 1.000.000.

I = 1                V = 5

X = 10             L = 50

C = 100           D = 500

M = 1000

Tambahan tanda garis di atas simbol tadi diartikan sebagai perkalian 1000.

►   Sistem bilangan yang paling banyak digunakan saat ini adalah sistem Arab.

►   Sistem ini pertama kali dibuat oleh orang Hindus dan digunakan pada awal abad ke-3 sebelum Masehi.

►   Pengenalan simbol 0, yang digunakan untuk menunjukkan nilai posisi angka menjadi sangat bermanfaat.

►   Sekarang kita menjadi terbiasa dengan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya.

►   Dalam sistem bilangan, banyak terjadi perulangan berkali-kali penggunaan suatu simbol.

►   Pada sistem desimal, hanya digunakan simbol sebanyak 10 macam. Simbol ini akan diulang-ulang untuk menyatakan bilangan yang besar.

►   Perhatikan bagaimana bilangan 0 sampai dengan 9 diulang, dan setiap perulangan, nilai kolom sebelah kirinya bertambah satu (dari 0 menjadi 1,kemudian 2).

►   Setiap terjadi kenaikan nilai, sampai nilai tertinggi tercapai (yaitu 9), nilai dikolom sebelah kirinya bertambah 1, jadi setelah 9 adalah 10. Demikian seterusnya berulang-ulang.0 - 9, 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39 dst

►   Angka selalu ditulis dengan nilai tertinggi pada bagian paling kiri dari bilangan.

Nilai Basis

►   Nilai basis untuk sistem bilangan adalah cacah himpunan nilai berbeda sebelum terjadi perulangan.

►   Misalnya, sistem desimal adalah berbasis sepuluh,dengan nilai 0 sampai dengan 9.

►   Nilai basis yang lain misalnya: biner, oktal,duodesimal, heksadesimal, vigesimal, seksagesimal.

►   Sistem desimal adalah sistem yang paling dikenal, karena ini adalah sistem yang digunakan dalam perhitungan sehari-hari.

Sistem Bilangan Desimal

►   Sistem desimal terdiri atas 10 angka atau simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

►   Dengan menggunakan simbol ini kita dapat menyatakan besaran.

►   Sistem desimal sering dinamakan juga sistem basis-10, karena mempunyai 10 angka.

Gambar 1.1 Perulangan Vertikal dan Horisontal

Sistem Bilangan Biner

►   Dalam sistem biner, hanya ada 2 simbol atau angka yaitu 0 dan 1. Sistem basis-2 ini dapat dipergunakan untuk menyatakan besaran yang direpresentasikan dalam desimal maupun sistem bilangan lain. Contoh:

Sistem Bilangan Oktal

►   Sistem oktal adalah sistem basis-8 dengan simbol sebanyak 8 macam yaitu: 0,1,2,3,4,5,6, dan 7. Contoh:

Sistem Bilangan Hexadesimal

►   Sistem heksadesimal adalah sistem basis-16 dengan simbol sebanyak 16 macam yaitu: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F. Contoh:

►   Sistem duodesimal adalah sistem berbasis 12 digunakan oleh orang Romawi untuk beberada keperluan.

►   Sistem vigesimal adalah sistem bilangan berbasis 20 digunakan oleh orang Maya sedang seksagesimal berbasis 60 dan digunakan oleh orang Babylonia

Faktor Bobot

►   Faktor bobot adalah nilai pengali yang dikenakan pada setiap posisi kolom dalam bilangan.

►   Misalnya, desimal mempunyai faktor bobot sepuluh, yang artinya setiap kolom disebelah kiri mempunyai nilai bobot sebesar sepuluh kali lebih besar dari kolom sebelah kanannya.

►   Dengan demikian setiap bergeser ke kiri faktornya menjadi 10 kali lipat.

 contoh :

Contoh lagi :

Koversi Bilangan Desimal menjadi Oktal

►   Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan konversi dari bilangan desimal menjadi bilangan biner, dengan mengganti bilangan pembagi dengan delapan.

►   Sebagai contoh bilangan desimal 321 dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara yang terlihat pada Gambar 1.4.

Gambar 1.4 Konversi bilangan desimal 321 menjadi oktal

►   Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya.Lihat Gambar 1.5.

Gambar 1.5 Pengujian bilangan oktal 501 menjadi bilangan desimal

Koversi Bilangan Desimal menjadi Heksadesimal

►   Cara pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat diterapkan juga untuk mengubah bilangan desimal menjadi heksadesimal, dengan cara mengganti bilangan pembagi dengan enam belas.

►   Sebagai contoh bilangan desimal 321 dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara yang terlihat pada Gambar 1.6.

Gambar 1.6 Konversi bilangan desimal 321 menjadi heksadesimal

Hasil konversi inipun dapat diuji kebenarannya dengan cara yang sama

seperti sebelumnya. Lihat Gambar 1.7.

Gambar 1.7: Pengujian bilangan heksadesimal 141 menjadi bilangan desimal

Cara lain Konversi Bilangan

►   Secara umum pengubahan suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal menjadi suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal lain dapat dilakukan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke bilangan desimal, kemudian diubah ke sistem bilangan tujuan.

►   Namun demikian pengubahan bilangan biner menjadi bilangan oktal (dan bilangan heksadesimal) dan sebaliknya dapat dilakukan secara langsung dengan cara seperti ditunjukkan pada Gambar 1.8.

Gambar 1.8: Pengubahan bilangan oktal 157 menjadi biner

Cara tersebut dilakukan dengan mengubah setiap digit bilangan oktal

menjadi 3 digit biner (bit). Ingat 8 adalah 23. Sebaliknya untuk mengubah

bilangan biner menjadi bilangan oktal dapat ditempuh dengan mengelompokkan setiap 3 bit dari bilangan biner dari kanan dan menerjemahkan masing-masing kelompok menjadi bilangan oktal yang sesuai. Lihat Gambar 1.9.

Gambar 1.9: Pengubahan bilangan biner 10011001 menjadi oktal

Pengubahan bilangan heksadesimal menjadi biner dapat dilakukan dengan menerjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal menjadi 4 bit. Bilangan 4 didapat karena 16 (heksadesimal) adalah 2⁴.

►   Contoh 1.1 Ubah bilangan 2BA16 menjadi bilangan desimal!

           Jawab :

Ubah bilangan 84510 menjadi bilangan heksadesimal!

Jawab:

Ubah bilangan 2B16 menjadi bilangan biner!

►   Cara I:

►   Bilangan setiap kali dibagi dengan 2. Perlu diingat bahwa pembagian

►   dilakukan dalam bilangan heksadesimal.

►   Cara II:

►   Setiap digit bilangan heksadesimal diterjemahkan menjadi 4 bit.

Ubah bilangan biner 110011011 menjadi bilangan heksadesimal!

►   Setiap 4 bit dikelompokkan untuk diterjemahkan menjadi masingmasing

►   1 digit heksadesimal